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齿轮基本参数和概念
   2021-11-30 10:26:22    亚投娱乐官网在线

  1 齿轮基本参数概念和参数计算 ----------项子澄 6-11 于五征 前言 齿抡中主要数学基础是几何,三角和解析几何,还有一点微积分,所以无需高深的数学.只有研究螺旋伞齿时才 需要.但它很繁琐,要对各参数的相互关系有很清晰的几何概念并非易事.有人一直从事齿变速箱设计数十年, 他能按公式计算齿轮但他对齿轮的概念很不清晰.一旦遇到计算矛盾就难着手分析.这次讲课重在概念和实 用及与概念有关的公式推导.我对所讲到的所有公式都进行过推导如有要深入研究可问我.再有欢迎课堂中 提问希望变被动学习为主动 一,渐开线形成原理(图一) ?? ?Ρ ? Θk ? Αk ? Υk 如图一可看作一条绳子的端点绕圆 rb 展开,或一根竿子在圆 rb 上滚动其端点的轨迹.如 A⌒K⌒E 即为渐开线. rb圆(NO)即为基圆..图中α 角为啮合角(压力角),φ 为渐开线展开角, θ 为渐开线函数角,.KN 为 K 点的曲率半 径ρ ..以上几个参数非重要.请注意它们角度关系 rb----------基圆 α -----压力角 φ -----渐开线展开角, θ -----渐开线函数角 ρ (如图 KN)----- K 点的曲率半径=N⌒A 1 二, 渐开线 ?Ρ ? Θk ? Αk ? Υk 1,圆上任一点都可向左向右各展开一条渐开线,渐开线上任何一点的法线,渐开线形状只取决于基圆 rb 的大小 4,当基圆 rb=∞时渐开线为直线∴可用齿条刀具加工齿轮 5,ρ =kN-----是 K 点的曲率半径, ρ =kN-=N⌒A 弧长 6,一对渐开线齿啮合的充分和必要的条件是它们的基节相等.(见图三,以后节讲) 7,所谓变位齿轮就是其齿形在渐开线上选用不同的区段.(见图三,在下一节讲) 三, 渐开线方程 因极坐标方便直观我们只讲极坐标方程.(如图二) 以 O 为座标原点,由⊿ONK 可得 rk=OK= rb/Cosα k---------------(1) 式中 rb = ON, rk =OK θ k=tgα k-α k---------------(2) (从直观可见, 当用弧度表示θ k 和α k 时即得此式 (证明:θ k=φ K-α k∵长度 NK= N⌒A 弧长∴, N⌒A 弧度= (N⌒A 弧长/ rb-) = (NK/ rb)= tgα k) θ k 称为渐开线角θ k=invα k= tgα k-α k-.这是个超越函数. inv 是 involute 的缩写 invα k 称为渐开线函数 亦可得ρ = rb tgα k------------------(1)’ 三渐开线)圆柱齿轮 直齿轮 蜗轮蜗杆 直锥齿轮 2 3 (2,)锥齿轮 格里森 螺旋伞齿抡 奥林肯 双曲线 功能:两者都可为改变传动比, 传动力和换向 3,左右旋向的确定.伸出双手,手心向上,齿轮的轴心线与手一致.观察旋线,齿轮所涉及的内容 齿形的设计计算 强度计算 齿轮精度及公差 齿轮测量 齿轮加工工艺 材料选用和热处理 5,为什么渐开线齿轮被广泛地被使用 有保证稳定传动所必须的性能即当传入稳定的转速和扭矩时传出的转速和扭矩亦必须稳定的,这就要求作 用在齿面上的法向力和变角速度相对于齿整体轮是不变的(见四(8)节).而渐开线齿形能做到这点 中心距变化后啮合仍符合啮合条件(见五节). 制造简单 可广泛使用变位齿轮大大改善性能(见五节) 四,一对标准齿轮相啮合的啮合特性(见图三) ? Α2= ? Α2 ? Α1 = ? Α1 ?Α2 ?Α2 ?Γ ?Α?ΑK1 1 分度圆 r 或 d(直径)------齿轮在加工时与刀具作纯滚动的圆称为分度圆 加工两 O1 齿 O2 齿标准齿轮时 O1 齿 O2 齿的 r1 和 r2 与刀具节线 GPS 作纯滚动.此处刀具的齿厚=齿槽宽 3 4 d=mZ-------------(3) (有了 d 后可定义 m=d/Z 称模数是表示齿大小有量刚的比值系数,Z 为齿数) 2,节点 P, 即两齿轮作纯滚动的圆的切点.两齿啮合时,按齿数比例分割中心连线 的点必为节点 P.它的圆 为节圆.单个齿不存在节点 P 标准齿轮啮合时,既然 r1 和 r2 都与刀具节线 GPS 作纯滚动∴r1 和 r2 之间亦作纯滚动. ∴两 O1 齿 O2 齿标准齿 轮的分度圆与节圆重合 3,α 1,α 2-------分度圆压力角.即滚刀刀具压力角,或齿轮加工时与刀具作纯滚动的点上的压力角.或者说齿轮 被加工时的节点上的压力角.. 分度圆压力角=刀具压力角 一对标准齿啮合啮合时其节圆和分度圆重合α =.α ’ 4,re1 和 re2--------齿顶半径 5,rb1 和 rb2-------基圆半径由⊿PO1N1 可得 rb =r Cosα ------------(4) 6,PP’------周节 p—在分度圆上相邻两齿廓的圆弧距离. p=mπ -----(5) ∵在分度圆上齿轮的齿厚 S=齿槽宽, ∴S= p/2= mπ /2--------------(6) (由圆周长 L=π d p=L/Z 可求得) 7,EE’------基节 pb----在基圆上相邻两齿廓的圆弧距离.pb= p Cosα ------------(7) 8,N1N2-----由图三知,两基圆相切的切点连线称为啮合线. 该对齿在啮合时一定在 N1N2 上接触啮合.∵(1)一 对齿啮合时它们的法线)根据渐开线的特性该点的法线 线称为啮合线. 既然两齿始终沿 N1N2 线接触方向不变∴这两齿 只能同步前进. 在啮合啮合线上的啮合角即为节圆压力角.这是相对于成对啮合齿轮而言(而不是相对于某一牙齿的齿廓,一 对齿轮的啮合角和此点的压力角的定义是不同的(,见图三’和图十一) 9,既然两齿在 N1N2 线上作方相始终不变能稳定地传递扭矩和运动.在 N1N2 线走过的路程即为基圆滚过的路 程亦就是 O1 和 O2 齿轮所滚过的基节是相等的. ∴两齿啮合的最基本的条件是两齿的基节必须相等 另由图三’,当两齿啮合点不在节点 P 上,而是转到γ 点接触时,作用力对整个齿轮而言相对于 O1O2 中心线的 啮合角仍为α 但对单齿形的压力角为α K 10, AB--------啮合线的工作区(图三) . A 和 B 分别为 O1 和 O2 齿轮的外圆与啮合线的交点 A 和 B (1)假如 O1 为主动齿轮,则啮合从 A 点开始到 B 点脱开. 外径越大啮合线).AB 长与基节 pb 之 比即为啮合重合系数ε (3)A 点在基点 N1 之上则可正确啮合,否则会产生啮合干涉如这现象发生在加工,则产 生根切. . 五, 变位或移距齿轮啮合时的重要关系式(见图四,图五和图六) (一),基本特征 1,移距的加工特徴 (见图四) 红色的齿形和刀具是标准齿 此时 AA 线既是刀具的分度线又是刀具的加工节线.与齿轮的分度圆 r 相切于 AA 线 P 点.刀具在 AA 线上的齿厚=齿槽 即 PG=GS(亦=齿轮的分度圆弧齿厚). 绿色为加工正移距的齿形的 刀具图.此时刀具的分度线从 AA 移到 A’A’, 移距量为ξ m, 此时刀具在原 AA 上的齿槽变宽为 P’’G’’而齿厚 相应变窄 G’’S’’,其变化值由⊿PP’P’’可知为Δ S=2ξ m,tgα ,----------------(8) (ξ 为移距系数(或称变位系数,修 正系数)它的标准符号用χ 表示,但∵χ 与 x 和乘号 X 很近∴我用ξ ) 注意: 此时加工的节线仍为 AA, 机床的挂轮没有变仅仅是将刀具外移∴齿轮的分度圆亦仍为 r 但此时刀具 在绿线 A”A”上的齿厚=齿槽,即 P’G’=S’G’而刀具在家工节线上的齿厚 P’’G’’增加了 Δ S=2ξ m,tgα 亦就是 齿轮在分度圆上的齿厚增加了 2ξ m,tgα .齿轮的外径亦由 re1 变为 r’e1 就是说正移距齿具有(1) 渐开线)齿顶高 ha 变高(以分度圆为界) 2 移距齿轮啮合时的特徴(见图五) 4 5 (1) 如图五当(ξ 1+ξ 2)>0 时称为正移距角度变位齿轮付时,图红色圆为节圆,其半径=r’,青色圆为分度圆, 其 半径=r * 图例为 是ξ 1 和ξ 2 都为正时的状况图 即 r’> r,即为正移距角度变位齿轮付此时α ’ α (**当 r’< r 时为负移距角度变位齿轮付, 即(ξ 1+ξ 2) <0, 此时α ’α (略) 正移距角度变位齿轮付的直接特徴 α ’ α A’ A S’ S (2)如图六当(ξ 1+ξ 2) =0 或ξ 1 =(-ξ 2 )≠0 此时 r’= r 为零移距角度变位齿轮付即此时α ’=α 即节点的啮合 角=分度圆压力角 现分析(ξ 1+ξ 2) =0 的几何关系: O1 齿分析:先回顾一下图三 这是标准齿轮啮合关系 加工 O1 齿的相应齿条刀槽是 GgcpP 槽 (图六)如果将刀具向上移动ξ m,距离来加工 O1,齿,(见图六)就是将原 加工标准齿的刀具节线 APA 向上移到 A’A’,而其它加工的运动关系不变,即加工时的刀具节线 仍为分度圆,而刀具的分度线变为 A”A’ 在其上的 bp=pg 而在刀具加工节线 AA 上 GP>PB 则 此时弧齿厚 P⌒u 由原 bp 增到 GP.增量Δ S=GP-pg=2ξ m,tgα , O2 齿分析: O2 为负移具,其刀具的分度线同样由 AA 移到 A’A’而加工节线 ∵是反相移距, ∴可将 pPeBb 看作刀具齿槽来切 O2 齿,显然 O2 的分度弧圆齿厚 S2=PB,其厚度少了Δ S=pb-PB = 2ξ m,tgα , 结论:由于 O`1和 O2移距大小相等方向相反它们分度圆上的齿厚变化亦是大小相等正负相反它们在分度圆上 接触条件没有变只是将分度圆上的齿厚相互增减∴分度圆和节圆重合.. (二), 移距齿轮啮合时的α ’和α 的关系式(见图五) 由⊿N1O1P 得 Cosα ’=rb/r’---------------(9) 得 rb=r’Cosα ’------------(10)或 r’= rb / Cosα ’--------------(11) 由青色的直角三角形⊿P0O1 N0 中可得 rb=r Cosα -----------(12) (10)=(12)得, Cosα ’= r1 Cosα / r’1-----(13) ∵中心距 A,A’与半径 r,r’是成比例的∴ (13) 式可改为 Cosα ’= A Cosα / A’--------(14)即当知道 A’便可知节圆压力角α ’ 六,变位对齿形的影响(或称移距,修正)见图七 由于使用标准齿齿轮时易造成根切,其齿厚及因渐开线靠近基圆的曲线段使其啮合性能不佳等原因在齿轮 设计时多采用变位. 1,齿厚变化(见图七) 图中 r 为分度圆也就是加工时的节圆 MM 为刀具加工节线,此时刀具 的刀刃 ABCD 范成出齿廓为标准齿(见白色线齿廓),齿轮上分度圆弧 齿厚如分度圆上的 S⌒S,=刀具在节线上的齿槽 SS.即 SS=S⌒S 当刀具向外移动ξ m(ξ 为移具系数, m 为模数),值即刀具原节线 MM 移倒 M’M’.即刀具的位置改为 A’B’C’D’ 请注意(1)此时分度圆和加工节线不变仍分别为 r 和 MM, 只是刀具外移.(2)M’M’此时是刀具的分 度线,在齿线上刀具的齿厚=刀具的齿的齿槽.(3)此时刀具在加工节线上的齿槽 SS 变为 S’S’ ∴刀具移距后所 对应的齿轮分度圆弧齿厚为 S’⌒S’=S’S’ 令Δ S=S’S’-SS=2ξ m tgα -------------(15) 2,齿廓变化(见图七) 5 6 如图齿廓由白色齿廓变为青色齿廓. 齿廓外移(或内移)则造成齿轮啮 合一系列性能变化可供我们选择(以后讨论) 3,分离系数的产生.(图八所示是一对都为正移距齿的啮合的关系图) 当(ξ 1+ξ 2)≠0 时就会有(ξ 1+ξ 2)m≠Δ A=A’-A 的现象. 令(ξ 1+ξ 2)-Δ A/m=λ 叫作分离系数 如图 D-D 线------是齿条刀刀具的刀刃(红线所示) M-M 线 齿轮作标准齿加工时的刀具分度线.(但不是加工节线)即为(图八)中的 MM 在 此线上刀具的齿厚=刀具的齿槽宽 ∵O1 和 O2 两齿轮都作正移距加工 M1M1 线 齿轮的加工时的节线 线 齿轮的加工时的节线 齿的分度圆 法线 是两加工节点的压力角即分度圆压力角线 点----是刀刃在 D-D 加工位置同时用左右刀刃分别在切削 O1 和 O2 的齿廓 E1 点和 E2 点标(其中假 设 E1 和 P1 是重合的.). 由图,其总移距量和为(ξ 1+ξ 2)m, 假定图中的中心距按 O1O2= (r1+r2)+ (ξ 1+ξ 2)m, 令=A’’ 注意:如此时将刀刃 D-D 拿走 则会发现 O1 和 O2 的齿廓并不接触.只有将中心距移近一点才能使 O1 和 O2 的 齿廓作无齿隙啮合.这移近的距离称为分离值令=Δ A=λ m λ 称为分离系数 ∴结论:对于角变位齿轮付,两齿作无齿隙啮合时的中心距 A’ ≠(r1+r2)+ (ξ 1+ξ 2)m,而是应为 A’ =(r1+r2)+ (ξ 1+ξ 2)m-λ m--------------(16) 令 (ξ 1+ξ 2)= ξ c 令(r1+r2)=A 代入(11)得 A’=A+ξ c m-λ m-----------------(17) λ 值可推算得λ =((Z1+Z2)/2)((Cosα / Cosα ’)-1)-----------------(18) 或可从手册中根据 Z1 和 Z2 查得相对分离系数σ 0 值 σ 0=λ /(Z1+Z2)-----------------(19) 七 ,齿轮基本要素.(见图九) GB 规定压力角为 20°标准齿顶高系数为 1 其实质就是当齿数 Z 和模数 m 确定后为你划定了你所使用的渐 开线的性质和使用此渐开线的区段.齿形移距是改变使用此渐开线的区段但不改变渐开线的性质. 确定齿轮要素应按 GB 的规定,但测绘引进国外产品则按原机或原图 基本要素: .(见图九) Z-----齿数 r,或 d---分度圆半径或直径,是与加工刀具作纯滚动的圆 d=Z m--------------(20) m----是显示齿厚等齿轮尺寸大小的比例参数.它和齿形特征无关只和大小有机联系着 m= d/Z------------------------(21) r’-----节圆半径,是一对齿啮合时作纯滚动的圆半径,单个齿不存在 r’(见图五) r’= rb / Cosα ’-------------------------------见前式(11) rb ---基圆半径- rb=r Cosα -----------------见前式(12) α -----刀具压力角,或称分度圆压力角.我国标准为 20° α ’----节圆压力角 Cosα ’=rb/r’--------------(不存单个齿在见图五)-见前式(9) h------齿全高= ha-+ hf- ------(22) GB 规定 ha-= m h-=2.25 m ha----齿顶高(以分度圆为界)标准齿顶高 ha-= m--------(23) 6 7 hf----齿根高标准齿根高 hf-=1.25--------------------24 ra,- --da,-----外径 标准齿的外径 da,=d+2 ha------------------(25) rf- --df,------ 根径 标准齿的外径 df,=d+2 hf--------------------(26) p-----周节, 是在分度圆 r 上相邻齿廓的弧长 p=π m-------见前(5) p b---基节 是在基圆 rb 上相邻齿廓的弧长 p b-= p Cosα ---见前(7) 标准齿分度圆弧齿厚 S=π m-/2-------------------------------见前(6) 移距后分度圆弧齿厚 S=(6)式+(15)式=(π m-/2)+ 2ξ m tgα ---------(27) 八, 齿轮齿厚测量计算 齿厚测接触量参数有分度圆弦齿厚,S(如图九 aq,或 vb 的弦长),固定弦齿厚,Sc(见图七 AB)公法线长度 W,量棒 距 M 几种.∵当采用常规的齿轮卡尺来测量分度圆弦齿厚和固定弦齿厚时,其精度不高,在圆柱齿上少采用但 近来开始应用光学仪器测量其精度较高但仍少用于生产线上.不过在直锥齿轮的齿厚测量中度圆弦齿厚和 固定弦齿厚被广泛应用∴这里不讲了.此处只将公法线长度 W,量棒距 M 的计公式. ∵W 和 M 都是无基准测 量(即以齿形本身为基准).很方便当精度亦很高∴被广泛应用 1, 公法线长度测厚度(见图九) ,(1)如卡 n 个齿就有(n-1)个齿槽如图九卡 2 个齿有 1 个齿槽.2 个齿,依此类推. (2) 公法线长度 W=AB 线,切于基圆. rb 切点在齿槽中心线(卡偶数齿)或齿厚中心线) 弧齿厚 S 与公法线长度 W 的关系:所谓齿厚是指分度圆上的弧齿厚 S,如图=a⌒q 弧长.公法线长度 AD 实 际上测的是 n 个基节齿厚+(n-1)个基节齿槽宽,即(n-1)个基节+1 个基节齿厚. 公法线长度 AD=基圆 E⌒F 弧 长 ∴公法线长度 AD 与分度圆上的弧 a⌒b 弧长的关系即为基圆 E⌒F 弧长与分度圆上的弧 a⌒b 弧长的关 系. 但它们不是简单地分度圆半径 r 与基圆半径 rb 的关系. 根据公法线长度 AD 实际上测的是(n-1)个基节+1 个基节齿厚由图九’ (a)先看看可基节与周节的关系: 对比 基节的夹角与周节的夹角,可见周节夹角在左侧少了个θ 角 则在右侧多了一个θ 角 ∴它们的夹角都是(2π /Z) ∴基节与周节的关系亦就分度圆半径 r 与基圆半径 rb 的关系. 再由图九’看看分度圆弧齿厚与基节厚的关系:由图可知基节的夹角比周节大 2θ 角∴它们不是简单的比例 关系.当齿厚增加后,由图九’’可知由于移距后分度圆弧齿厚加厚,但绿色齿廓(移距后)和白色齿廓(移距前)其 两厚度虽不同但其θ 角是相同的∴新增加的分度圆弧齿厚Δ S 与基节上增加的Δ Sb 之间的关系应是分度圆 半径 r 与基圆半径 rb 的关系. 即Δ Sb=Δ SCosα ∵Δ Sb=Δ W 代入(15)式得 Δ Sb=Δ W=Δ SCosα =2ξ m Sinα ------------------------------(15)’ 这就是弧齿厚增量与公法线)W 值只反映理论弧齿厚本身的厚度是不能反应当齿轮因变形产生椭圆或另件安装定位误差造成的径向 跳动引起对某齿的分度圆直径变化所造成分度圆上的弧齿厚变化(可以九图为例) (5)能反应因加工分度误差造成的齿厚误差和机床主轴的定位误差所造成的齿厚误差 (6)它能测量运动精度所要求的公法线)W 所测的厚度是所卡齿数的平均值不是某个单齿 (8)公法线长度 W 的计算机公式 由图九知公法线长度 AD=E⌒H+H⌒F 即一个基节 tb-加一个基圆弧齿厚 Sb,可以类推,如卡 3 个齿则公法线 长度=二个基节 tb-加一个基圆弧齿厚 Sb 具体的公式推导省略有愿深入者可随时找我. 标准齿的公法线=m Cosα (π (n-0.5)+Z invα )---------------------(28) 式中 n--------为所卡齿数, 7 8 inv------是渐开线函数 变位齿的公法线长度 W 公式 ∵由于变位造成的分度圆弧齿厚增量Δ S 可由式(15)’ Δ W=Δ SCosα =2ξ m Sinα ----------------------------(29) W= W0 +Δ W= W0 +2ξ mSinα = m Cosα (π (n-0.5)+Z invα )+ 2ξ mSinα ---------------(30) 对于斜齿轮只需将 invα 改为 invα t 即 W= m Cosα (π (n-0.5)+Z invα t)+ 2ξ mSinα ----------(30)’ α t 为端面压力角 tgα t=tgα /Cosβ 式中β 为螺旋角 (8)所卡齿数 n 的计算. 当压力角α =20°时 n≈0.1111Z+0.5---------------------------------------(31) 2 跨棒距 M 测量(见图十) (1)如图十跨棒距 M 就是量棒中心的尺寸 OO’加量棒直经 Dp 即 M=OO’+dp------------------(32) (2)M 的测量精度比公法线长度 W 高,亦是无基准测量(即以齿形本身为基准)∴检测方便 (3)M 是能用直接接触测量法测量内齿轮的唯一方法 M 能测量与基准无关的齿轮自身的椭圆度,不能反映几何偏心,加工偏心造成的齿形变化 M 所测出的齿厚是两个齿的平均齿厚值 当压力角α =20°时,量棒直径大致为 dp =1.476m---------------(33) (8) 计算无变位直齿标准齿轮 M 的步骤及其公式 (a)先求出量棒中心点 O’(或称量棒接触点)的压力角α M 其公式为: invα M=invα ±(dp/Zm Cosα ) -/+(π /2Z)---------(34) 斜齿: invα Mt=invα t±(dp/Zm Cosα ) -/+(π /2Z)-----(34)’ 注;在±和-/+中,分子用于外齿轮,分母用于内齿轮 (b)求 M 值 M= (Zm Cosα /Cos α M) ±dp (偶数齿)------------------(35) 其中(Zm Cosα / Cosα M)即(32)式中的 OO’ 斜齿: M= (Zmt Cosα t/Cos α Mt) ±dp (偶数齿)------------------(35)’ M= (Zm Cosα / Cosα M)( Cos(90°/Z))±dp (奇数齿)-------(36) 斜齿: M=(ZmtCosα t/Cosα Mt)( Cos(90°/Z))±dp (奇数齿)-------(36) (9) 计算变位非标准直齿轮 M’的步骤及其公式(图十) (a)先求出量棒中心点 O’的压力角α M invα M=invα ±(dp/Zm Cosα ) -/+(π /2Z)+(2ξ tgα /Z)-----(37) 斜齿: invα Mt=invα t±(dp/Zm Cosα ) -/+(π /2Z)+(2ξ tgα /Z)-(37)’ (b) 求 M’值: 同(35) (36)式 至此我们可开始个种齿轮计算 如何合理选取参数是一个综合性的问题等以后可作专题讲座. 在我过去设计时都已编程 20 多程序. 现将常用几个程序给大家供参考只要将红色的参数输入即可得出结果 数值.具体有: (计算程序中所使用的公式的符号是我自已常用得符号) 1,成对齿轮验算 2,单直齿求 L(W)值 ,3 单斜齿求 L(W)值 4,成对齿求 L(W)值 5,求 M 值(外斜齿)6 求 M 值(内斜齿) 7 求任一点的弧齿厚 8 9 9

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